【题目】已知函数.
(Ⅰ)若关于的不等式在上恒成立,求的取值范围;
(Ⅱ)设函数,在(Ⅰ)的条件下,试判断在上是否存在极值.若存在,判断极值的正负;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)当时, 在上不存在极值;当时, 在上存在极值,且极值均为正.
【解析】试题分析:(1)不等式恒成立问题,一般先利用变量分离转化为对应函数最值问题: 的最大值,利用导数研究函数最值,易得在上单调递减,所以,因此,(2)即研究导函数的零点情况,先求导数,确定研究对象为,再求目标函数导数,确定单调性:先增后减,两个端点值都小于零,讨论最大值是否大于零,最后结合零点存在定理确定极值点个数.
试题解析:解:(Ⅰ)由,得.
即在上恒成立.
设函数, .
则.
∵,∴.
∴当时, .
∴在上单调递减.
∴当时, .
∴,即的取值范围是.
(Ⅱ), .
∴.
设,则.
由,得.
当时, ;当时, .
∴在上单调递增,在上单调递减.
且, , .
据(Ⅰ),可知.
(ⅰ)当,即时, 即.
∴在上单调递减.
∴当时, 在上不存在极值.
(ⅱ)当,即时,
则必定,使得,且.
当变化时, , , 的变化情况如下表:
- | 0 | + | 0 | - | |
- | 0 | + | 0 | - | |
↘ | 极小值 | ↗ | 极大值 | ↘ |
∴当时, 在上的极值为,且.
∵.
设,其中, .
∵,∴在上单调递增, ,当且仅当时取等号.
∵,∴.
∴当时, 在上的极值.
综上所述:当时, 在上不存在极值;当时, 在上存在极值,且极值均为正.
注:也可由,得.令后再研究在上的极值问题.
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【题目】随着智能手机的普及,使用手机上网成为了人们日常生活的一部分,很多消费者对手机流量的需求越来越大.长沙某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求,准备推出一款流量包.该通信公司选了5个城市(总人数、经济发展情况、消费能力等方面比较接近)采用不同的定价方案作为试点,经过一个月的统计,发现该流量包的定价:(单位:元/月)和购买人数(单位:万人)的关系如表:
(1)根据表中的数据,运用相关系数进行分析说明,是否可以用线性回归模型拟合与的关系?并指出是正相关还是负相关;
(2)①求出关于的回归方程;
②若该通信公司在一个类似于试点的城市中将这款流量包的价格定位25元/ 月,请用所求回归方程预测长沙市一个月内购买该流量包的人数能否超过20 万人.
参考数据:,,.
参考公式:相关系数,回归直线方程,
其中,.
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【题目】等比数列{an}的各项均为正数,且2a1+3a2=1, =9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列的前n项和.
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【题目】某校高一某班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图因事故都受到不同程度的损坏,但可见部分如下,据此解答如下问题:
(1)求分数在[50,60)的频率及全班人数;
(2)求分数在[80,90)的频数,并计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形的高;
(3)若规定:90分(包含90分)以上为优秀,现从分数在80分(包含80分)以上的试卷中任取两份分析学生失分情况,求在抽取的试卷中至少有一份优秀的概率.
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【题目】“2019年”是一个重要的时间节点——中华人民共和国成立70周年,和全面建成小康社会的 关键之年.70年披荆斩棘,70年砥砺奋进,70年风雨兼程,70年沧桑巨变,勤劳勇敢的中国 人用自己的双手创造了一项项辉煌的成绩,取得了举世瞩目的成就.趁此良机,李明在天猫网店销售“新中国成立70周年纪念册”,每本纪念册进价4元,物流费、管理费共为元/本,预计当每本纪念册的售价为元(时,月销售量为千本.
(I)求月利润(千元)与每本纪念册的售价X的函数关系式,并注明定义域:
(II)当为何值时,月利润最大?并求出最大月利润.
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