Question

4．已知双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1与直线y=m（x-2）交于两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）且P与Q分别在双曲线的左、右分支上．
（1）证明x₁及x₂满足方程（m²-3）x²-4m²x+（4m²+3）=0；
（2）以m表示x₁+x₂及x₁x₂；
（3）求m的取值范围；
（4）设O为原点，若∠POQ为直角，证明8x${\;}_{1}^{2}$x${\;}_{2}^{2}$-9（x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$）+9=0，并由此求m的值．

Answer 1

分析 （1）将直线方程代入双曲线的方程，消去y，整理即可得到结论；
（2）运用韦达定理，即可得到所求；
（3）由方程（*）有两个异号的根，可得△＞0，x₁x₂＜0，且3-m²≠0，解不等式即可得到所求范围；
（4）由∠POQ为直角，可得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，即有x₁x₂+y₁y₂=0，代入韦达定理，整理，解方程可得m的值，化简韦达定理，代入所求证的等式，计算即可得到所求值为0．

解答 解：（1）证明：将直线y=m（x-2）代入双曲线方程3x²-y²=3，
可得3x²-m²（x-2）²=3，
即有（3-m²）x²+4m²x-4m²-3=0，（*）
由题意可得x₁及x₂满足方程（m²-3）x²-4m²x+（4m²+3）=0；
（2）由韦达定理可得x₁+x₂=$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}+3}{{m}^{2}-3}$；
（3）由方程（*）有两个异号的根，
可得△＞0，x₁x₂＜0，且3-m²≠0，
即有16m⁴-4（4m²+3）（m²-3）＞0，且$\frac{4{m}^{2}+3}{{m}^{2}-3}$＜0，
解得m²＜3，即有-$\sqrt{3}$＜m＜$\sqrt{3}$，
则m的取值范围是（-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）；
（4）证明：由∠POQ为直角，可得$\overrightarrow{OP}$⊥$\overrightarrow{OQ}$，
即有x₁x₂+y₁y₂=0，
即为x₁x₂+m²（x₁-2）（x₂-2）=（1+m²）x₁x₂-2m²（x₁+x₂）+4m²=0，
即有（1+m²）•$\frac{4{m}^{2}+3}{{m}^{2}-3}$-2m²•$\frac{4{m}^{2}}{{m}^{2}-3}$+4m²=0，
化简可得m²=$\frac{3}{5}$，解得m=±$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
即有x₁+x₂=-1，x₁x₂=-$\frac{9}{4}$，
则8x${\;}_{1}^{2}$x${\;}_{2}^{2}$-9（x${\;}_{1}^{2}$+x${\;}_{2}^{2}$）+9=8×$\frac{81}{16}$-9[（x₁+x₂）²-2x₁x₂]+9
=$\frac{81}{2}$-9×（1+$\frac{9}{2}$）+9=0．

点评 本题考查直线和双曲线的位置关系，注意联立直线方程和双曲线的方程，运用韦达定理和判别式大于0，同时考查两直线垂直的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．