Question

14．设定义在区间（0，+∞）内的函数f（x）满足下列条件：①单调递增；②f（x）•f[f（x）+$\frac{2}{x}$]=4恒成立；③f（2）+1＞0，则f（2）=（　　）

• A． 1-$\sqrt{3}$
• B． 1+$\sqrt{3}$
• C． 1±$\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由恒成立思想可令x=2，可得f（2）•f[f（2）+1]=4，运用排除法，设f（2）=1+$\sqrt{3}$，f（2）=2，代入计算，运用单调性，即可判断不成立，进而得到答案．

解答 解：由f（x）•f[f（x）+$\frac{2}{x}$]=4恒成立，
可得f（2）•f[f（2）+1]=4，
若f（2）=1+$\sqrt{3}$，则（1+$\sqrt{3}$）•f（2+$\sqrt{3}$）=4，
即有f（2+$\sqrt{3}$）=$\frac{4}{1+\sqrt{3}}$=2（$\sqrt{3}$-1），
由2+$\sqrt{3}$＞2，可得f（2+$\sqrt{3}$）＞f（2），
但2（$\sqrt{3}$-1）＜2，则f（2）≠1+$\sqrt{3}$，故排除B，C；
若f（2）=2，则2f（3）=4，即f（3）=2，
则f（2）=f（3），这与f（2）＜f（3）矛盾，故排除D．
故选：A．

点评 本题考查函数的性质及运用，注意运用排除法，以及函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．