Question

4．一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4，白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球（假设取到任何一个小球的可能性相同）．
（1）求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；
（2）在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．

Answer 1

分析 （1）从盒子中任取3个小球，先求出基本事件总数，再求出取出的3个小球中，含有编号为4的小球的基本事件个数，由此能求出取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率．
（2）由题意得X的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．

解答 解：（1）∵一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4，
白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球，
基本事件总数n=${C}_{6}^{3}$=20，
取出的3个小球中，含有编号为4的小球的基本事件个数m=${C}_{2}^{1}{C}_{4}^{2}+{C}_{2}^{2}{C}_{4}^{1}$=16，
∴取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率p=$\frac{m}{n}$=$\frac{16}{20}$=$\frac{4}{5}$．
（2）由题意得X的可能取值为3，4，5，
P（X=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{20}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{2}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$+$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{9}{20}$，
P（X=5）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{1}^{1}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{10}{20}$，
∴随机变量X的分布列为：

X	3	4	5
P	$\frac{1}{20}$	$\frac{9}{20}$	$\frac{10}{20}$

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．