Question

12．已知函数f（x）=ax²+xlnx．
（Ⅰ）若a=1，求函数f（x）的在（e，f（e）处的切线方程；
（Ⅱ）若a=-e，证明：方程2|f（x）|-3x=2lnx无解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出a=1的f（x）的解析式，求得导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程；
（Ⅱ）由题意可得原方程即为2|-ex²+xlnx|=3x+2lnx，由x＞0，即有|lnx-ex|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，设g（x）=lnx-ex，h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，分别求出g（x），h（x）的导数和单调区间、极值和最值，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）若a=1，可得f（x）=x²+xlnx的导数为f′（x）=2x+1+lnx，
函数f（x）在（e，f（e）处的切线斜率为k=f′（e）=2e+2，切点为（e，e²+e），
则函数f（x）在（e，f（e）处的切线方程为y-e²-e=（2e+2）（x-e），
即为（2e+2）x-y-e²-e=0；
（Ⅱ）证明：由题意可得方程2|f（x）|-3x=2lnx，即为2|-ex²+xlnx|=3x+2lnx，
由x＞0，即有|lnx-ex|=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，
设g（x）=lnx-ex，g′（x）=$\frac{1}{x}$-e=$\frac{1-ex}{x}$，
当x＞$\frac{1}{e}$时，g′（x）＜0，即有g（x）在（$\frac{1}{e}$，+∞）递减；
当0＜x＜$\frac{1}{e}$时，g′（x）＞0，即有g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递增．
可得g（x）在x=$\frac{1}{e}$处取得极大值，且为最大值g（$\frac{1}{e}$）=ln$\frac{1}{e}$-e•$\frac{1}{e}$=-2．
即有|g（x）|≥2；
设h（x）=$\frac{lnx}{x}$+$\frac{3}{2}$，h′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，
当x＞e时，h′（x）＜0，即有h（x）在（e，+∞）递减；
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，即有h（x）在（0，e）递增．
可得h（x）在x=e处取得极大值，且为最大值h（e）=$\frac{lne}{e}$+$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$．
由2＞$\frac{1}{e}$+$\frac{3}{2}$，可得|g（x）|＞h（x）恒成立，
即2|f（x）|＞3x+2lnx，故方程2|f（x）|-3x=2lnx无解．

点评 本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间、极值和最值，考查函数方程的转化思想的运用，注意构造函数，求得最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．