Question

17．已知函数f（x）=e^x（sinx+cosx）+a，g（x）=（a²-a+10）e^x（a∈R且a为常数）．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线过点（1，2），求实数M的值；
（Ⅱ）判断函数φ（x）=$\frac{{b（1+{e^2}）g（x）}}{{（{a^2}-a+10）{e^2}x}}\;-\frac{1}{x}$+1+lnx（b＞1）在（0，+∞）上的零点个数，并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得a的值；
（Ⅱ）φ（x）=0，化简整理可得$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}=\;1-x-xlnx$，令h（x）=1-x-xlnx，再令$t（x）=\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}\;=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^x}$，求出单调性，求得最值，即可判断零点个数．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=e^x（sinx+cosx）+a的导数为
f'（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
又曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线过点（1，2），
得f'（0）=$\frac{f（0）-2}{0-1}$=2-（1+a）=2，
解得a=-1；
（Ⅱ）由$φ（x）=\;\frac{{b（1+{e^2}）g（x）}}{{（{a^2}-a+10）x{e^2}}}\;-\frac{1}{x}+1+lnx=0$（x＞0），
得$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{{x{e^2}}}\;-\frac{1}{x}+1+lnx=0$，
化为$\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}=\;1-x-xlnx$，
令h（x）=1-x-xlnx，则h'（x）=-2-lnx，
由h'（x）=-2-lnx=0，得x=e^-2，
故h（x）在$（0，\frac{1}{e^2}）$上递增，在$（\frac{1}{e^2}，+∞）$上递减，
$h{（x）_{max}}=h（\frac{1}{e^2}）=1+\frac{1}{e^2}$．
再令$t（x）=\frac{{b（1+{e^2}）{e^x}}}{e^2}\;=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^x}$，
因为b＞1，所以函数$t（x）=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^x}$在（0，+∞）上递增，$t（x）＞t（0）=b（1+\frac{1}{e^2}）{e^0}=b（1+\frac{1}{e^2}）＞1+\frac{1}{e^2}$．
知t（x）＞h（x）_max，由此判断函数φ（x）在（0，+∞）上没有零点，
故φ（x）零点个数为0．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查函数的零点的判断，注意运用构造函数，结合单调性，求得最值，考查化简整理的运算能力，属于中档题．