Question

7．某兴趣小组的3名指导老师和7名学生站成前后两排合影，3名指导老师站在前排，7名学生站在后排．
（1）若甲，乙两名学生要站在后排的两端，共有多少种不同的排法？
（2）若甲，乙两名学生不能相邻，共有多少种不同的排法？
（3）在所有老师和学生都排好后，摄影师觉得队形不合适，遂决定从后排7人中抽2人调整到前排．若其他人的相对顺序不变，共有多少种不同的调整方法？
（本题各小题都要求列出算式，并用数字作答）

Answer 1

分析 （1）甲，乙两名学生要站在后排的两端，先排甲乙，再排其余老师与学生，利用排列知识可得结论；
（2）首先分析求甲，乙两名同学不能相邻的排法，可以联想到用插空法求解，然后乘以其余同学及指导老师的排法即可得到答案．
（3）首先从后排的7人中选出2人，有C₇²种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A₅²，利用乘法原理可得结论．

解答 解：（1）$A_2^2A_5^5A_3^3=2×120×6=1440$…（4分）
答：共有1440种不同的排法．  …（5分）
（2）求甲，乙两名同学不能相邻的排法，考虑到用插空法，把其他4名同学的前后位置放甲乙即可满足甲乙不相邻．
答：共有21600种不同的排法．…（10分）
（3）首先从后排的7人中选出2人，有C₇²种结果，再把两个人在5个位置中选2个位置进行排列有A₅²，
∴不同的调整方法有$C_7^2A_5^2=\frac{7×6}{2}×5×4=420$
答：共有420种不同的调整方法．…（14分）

点评 本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．