Question

18．已知点P是曲线y=$\frac{{3-{e^x}}}{{{e^x}+1}}$上一动点，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的最小值是（　　）

• A． 0
• B． $\frac{π}{4}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{3π}{4}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，化简整理可得y′=$\frac{-4}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$，再由基本不等式可得切线的斜率的最小值，再由直线的斜率公式和倾斜角的范围，即可得到所求最小值．

解答 解：y=$\frac{{3-{e^x}}}{{{e^x}+1}}$的导数为y′=$\frac{-{e}^{x}（1+{e}^{x}）-（3-{e}^{x}）{e}^{x}}{（1+{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-4{e}^{x}}{（1+{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{-4}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$，
由e^x+e^-x≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$=2，当且仅当x=0时，取得等号．
即有$\frac{-4}{{e}^{x}+{e}^{-x}+2}$≥$\frac{-4}{2+2}$=-1，
可得切线的斜率k=tanα∈[-1，0）．
则α∈[$\frac{3π}{4}$，π），即有α的最小值是$\frac{3π}{4}$．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查基本不等式的运用：求最值，同时考查直线斜率公式和倾斜角的范围，属于中档题．