Question

2．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AD=DC=AA₁=2，AB=4，E、F、G分别是棱AA₁、AD、AB的中点．
（Ⅰ） 求证：EF⊥B₁D₁；
（Ⅱ） 求证：EF∥平面GCC₁；
（Ⅲ） 求二面角B-GC₁-C的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根据线面垂直的性质定理证明B₁D₁⊥平面A₁ADD₁ 求即可证：EF⊥B₁D₁；
（Ⅱ） 根据线面平行的判定定理即可证明：EF∥平面GCC₁；
（Ⅲ） 根据二面角的定义作出二面角的平面角即可求二面角B-GC₁-C的余弦值．

解答 （Ⅰ） 证明：作D₁H⊥A₁B₁，垂足为H，则A₁B₁=4，A₁D₁=2，A₁H=1，
∵在△B₁A₁D₁和△D₁A₁H中，∠B₁A₁D₁=∠D₁A₁H，$\frac{{A}_{1}{B}_{1}}{{A}_{1}{D}_{1}}=\frac{{A}_{1}{D}_{1}}{{A}_{1}H}$，
∴△B₁A₁D₁∽△D₁A₁H．
∴∠B₁D₁A₁=∠D₁HA₁=90°，即B₁D₁⊥D₁A₁．
∵AA₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，B₁D₁?平面A₁B₁C₁D₁，
∴B₁D₁⊥AA₁．
∵A₁D₁∩AA₁=A₁，
∴B₁D₁⊥平面A₁ADD₁．
∵EF?平面A₁ADD₁，∴EF⊥B₁D₁；．
（Ⅱ） 证明：∵G为AB的中点，AG=$\frac{1}{2}$AB=2=DC，且AB∥CD，
∴四边形AGCD为平行四边形，故AD∥GC．
∵DD₁∥CC₁，GC?平面GCC₁，CC₁?平面GCC₁，GC∩CC₁=C，
∴平面A₁ADD₁∥平面GCC₁．
∵EF?平面A₁ADD₁，
∴EF∥平面GCC₁．
（Ⅲ） 解：取GC的中点P，连接BP，
∵GC=BC=GB，
∴BP⊥GC．
∵BP⊥CC₁，GC∩CC₁=C，
∴BP⊥平面GCC₁．
∵GC₁平面GCC₁，
∴BP⊥GC₁．
过点P作PM⊥GC₁于点M，连接BM，
∵PM∩BP=P，
∴GCC₁⊥平面BPM．
∴∠BMP为二面角B-GC₁-C的平面角．
在Rt△BPM中，∴∠BPM=90°，BP=$\sqrt{3}$，
∵GP=1，且△GCC₁为等腰直角三角形，
∴PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，BM=$\sqrt{3+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{14}}{2}$．
∴cos∠BMP=$\frac{PM}{BM}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}•\frac{2}{\sqrt{14}}$=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
即所求二面角的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题主要考查空间直线和平面垂直和平行的判定以及空间二面角的求解，利用相应的判定定理以及二面角的定义作出二面角的平面角是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．