Question

17．已知双曲线的渐近线方程为y=±2x，则其离心率大小是$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 因为焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，焦点在y轴上的双曲线两条渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，所以分情况讨论a，b的关系，再根据a，b求出c，利用离心率e=$\frac{c}{a}$，就可求出双曲线的离心率．

解答 解：当双曲线焦点在x轴上时，两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
又∵已知两条渐近线方程为y=±2x，∴$\frac{b}{a}$=2，b=2a
∴c=$\sqrt{5}$a，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}a}{a}$=$\sqrt{5}$
当双曲线焦点在y轴上时，两条渐近线方程为y=±$\frac{a}{b}$x，
又∵已知两条渐近线方程为y=±2x，∴$\frac{a}{b}$=2，a=2b
∴c=$\sqrt{5}$b，离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}b}{2b}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
故答案为：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{5}$

点评 本题主要考查了双曲线的离心率的求法，关键是求a，c的关系，注意对双曲线的焦点的位置进行讨论．