Question

15．曲线x²-xy+2y+1=0（x＞2）上的点到x轴的距离的最小值为4+2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 将曲线进行转化为函数形式，利用基本不等式的性质进行求解即可．

解答 解：由x²-xy+2y+1=0得x²+y（2-x）+1=0，
∵x＞2，
∴y=$\frac{{x}^{2}+1}{x-2}$，
令t=x-2，则t＞0，x=t+2
则函数等价为y=$\frac{（t+2）^{2}+1}{t}=\frac{{t}^{2}+4t+5}{t}$=t+$\frac{5}{t}$+4≥2$\sqrt{t•\frac{5}{t}}$+4=4+2$\sqrt{5}$，
当且仅当t=$\frac{5}{t}$，即t=$\sqrt{5}$时，函数取得最小值，
即点到x轴的距离的最小值为4+2$\sqrt{5}$，
故答案为：4+2$\sqrt{5}$．

点评 本题主要考查曲线和方程的应用，根据条件转化为函数性质，利用换元法结合基本不等式的性质是解决本题的关键，是中档题．