Question

13．三角形的周长为31，三边为a，b．c均为整数且a≤b≤c，则满足条件的三元数组（a，b，c）的个数为（　　）

• A． 24
• B． 30
• C． 48
• D． 60

Answer 1

分析 由三角形的三边关系可得$\frac{31}{3}$≤c＜$\frac{31}{2}$，故c=11，12，13，14，15，分别列举可得满足a≤b≤c的三元数组（a，b，c）的个数．

解答 解：∵三边长分别为a≤b≤c，则a+b=31-c＞c≥$\frac{31}{3}$，
∴$\frac{31}{3}$≤c＜$\frac{31}{2}$，故c=11，12，13，14，15．
分类讨论如下：
①当c=11时，b=11，a=9或b=10，a=10；
②当c=12时，b=12，a=7或b=11，a=8或b=10，a=9；
③当c=13时，b=13，a=5或b=12，a=6或b=11，a=7或b=10，a=8或b=9，a=9；
④当c=14时，b=14，a=3或b=13，a=4或b=12，a=5或b=11，a=6或b=10，a=7或b=9，a=8；
⑤当c=15时，b=15，a=1或b=14，a=2或b=13，a=3或b=12，a=4或b=11，a=5或b=10，a=6或b=9，a=7或b=8，a=8；
∴满足条件的三角形的个数为2+3+5+6+8=24．
故选：A．

点评 本题涉及分类讨论的思想，解答的关键是找到三边的取值范围及对三角形三边关系的理解与把握，属中档题．