Question

如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，平面，，，，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求五面体的体积.

Answer 1

（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）连接交于点，取的中点，连接、，先证明，再利用中位线证明，利用传递性证明，进而证明四边形为平行四边形，进而得到，最后利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）证法一是取的中点，先证明四边形为平行四边形得到，然后通过勾股定理证明从而得到，然后结合四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；证法二是连接交于点，先利用勾股定理证明，利用得到，再利用等腰三角形中三线合一得到，利用直线与平面垂直的判定定理证明平面，进而得到，然后结合四边形为正方形得到，最后利用直线与平面垂直的判定定理证明平面；（3）将五面体分割为四棱锥与三棱锥，利用（2）中的结论平面得到平面从而计算三棱锥的体积，利用结论平面以及得到平面以此计算四棱锥的体积，最终将两个锥体的体积相加得到五面体的体积.
试题解析：（1）连接，与相交于点，则是的中点，连接、，

是的中点，
，，
平面，平面，平面平面，，
，，，四边形为平行四边形，
，，
平面，平面，平面；
（2）证法1：取的中点，连接，则，

由（1）知，，且，四边形为平行四边形，
，，
在中，，又，得，，
在中，，，，
，，，即，
四边形是正方形，，
，平面，平面，平面；
证法2：在中，为的中点，.
在中，，，
，，
，，
，平面，平面，，平面，
平面，.
四边形是正方形，.
平面，平面，，平面.

（3）连接，
在中，，.
由（2）知平面，且，平面.
平面，，平面.
四棱锥的体积为.
三棱锥的体积为.
五面体的体积为.