Question

(2014·贵阳模拟)一个几何体是由圆柱ADD₁A₁和三棱锥E-ABC组合而成,点A,B,C在圆O的圆周上,其正(主)视图,侧(左)视图的面积分别为10和12,如图所示,其中EA⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC.AE=2.

(1)求证：AC⊥BD.
(2)求三棱锥E-BCD的体积.

Answer 1

（1）见解析     （2）

(1)因为EA⊥平面ABC,AC?平面ABC,所以EA⊥AC,即ED⊥AC.
又因为AC⊥AB,AB∩ED=A,所以AC⊥平面EBD.
因为BD?平面EBD,所以AC⊥BD.
(2)因为点A,B,C在圆O的圆周上,且AB⊥AC,所以BC为圆O的直径.
设圆O的半径为r,圆柱高为h,根据正(主)视图,侧(左)视图的面积可得,
解得
所以BC=4,AB=AC=2.
以下给出求三棱锥E-BCD体积的两种方法：
方法一：由(1)知,AC⊥平面EBD,
所以V_E-BCD=V_C-EBD=S_△EBD×CA,
因为EA⊥平面ABC,AB?平面ABC,
所以EA⊥AB,即ED⊥AB.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
因为AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S_△EBD=ED×AB=×4×2=4,
所以V_E-BCD=×4×2=.
方法二：因为EA⊥平面ABC,
所以V_E-BCD=V_E-ABC+V_D-ABC=S_△ABC×EA+
S_△ABC×DA=S_△ABC×ED.
其中ED=EA+DA=2+2=4,
因为AB⊥AC,AB=AC=2,
所以S_△ABC=×AC×AB=×2×2=4,
所以V_E-BCD=×4×4=.