Question

已知为抛物线C：上一点

（1）求抛物线C的标准方程；

（2）设A、B抛物线C上异于原点O的两点且，求证:直线AB恒过定点，并求出该定点坐标；

（3）在（2）的条件下，若过原点O向直线AB作垂线，求垂足P（x,y）的轨迹方程。

Answer 1

已知为抛物线C：上一点

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设A、B抛物线C上异于原点O的两点且，求证:直线AB恒过定点N，并求出定点N坐标；

（3）在（2）的条件下，若过原点O向直线AB作垂线，求垂足P（x,y）的轨迹方程。

解：（1）    当直线的斜率存在时，设直线l:y=kx+m,联立得，依题意有，则

即=0

，化简得，故,此时直线l:y=kx-4k=(x-4)k, 恒过点N（4,0）

当直线l的斜率不存在时，设l:x=t,可解得t=4,故直线恒过定点N（4,0）  

注：本题也可以先由，解得，再结合韦达定理求出定点坐标，同样给分；

(3)P点在以ON为直径的圆周上（除去原点），故点P的轨迹方程为：