Question

【题目】已知点F1、F2为双曲线C：x2﹣ =1的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，∠MF1F2=30°．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2 ， 求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设F2，M的坐标分别为 ，

因为点M在双曲线C上，所以 ，即 ，所以 ，

在Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°， ，所以

由双曲线的定义可知：

故双曲线C的方程为：

（2）解：由条件可知：两条渐近线分别为

设双曲线C上的点Q（x0，y0），设两渐近线的夹角为θ，

则点Q到两条渐近线的距离分别为 ，

因为Q（x0，y0）在双曲线C： 上，

所以 ，又cosθ=﹣ ，

所以 =﹣

【解析】（1）设F2 ， M的坐标分别为 ，求出|MF2|，Rt△MF2F1中，∠MF1F2=30°，求出|MF1|，利用双曲线的定义，即可求双曲线C的方程；（2）求出两条渐近线方程，可得点Q到两条渐近线的距离，设两渐近线的夹角为θ，可得 ，利用向量的数量积公式，即可求 的值．