Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC=（2b-c）cosA．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）已知a=

3

，D点为边BC的中点，试求AD的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理把已知等式中边转化成角的正弦，恒等变形整理后求得cosA的值，进而求得A．
（Ⅱ）利用正弦定理表示出b，进而利用余弦定理表示出AD，进而利用三角函数的性质求得AD的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵acosC=（2b-c）cosA，
∴sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA，
∴sin（A+C）=2sinBcosA，
∴sinB=2sinBcosA，
∵又sinB≠0
∴cosA=

1

2

，
∵0＜A＜π∴A=

π

3

．
（Ⅱ）∵

b

sinB

=

a

sinA

=2，
∴b=2sinB
∴AD²=b²+（

a

2

）²-2•

a

2

•b•cosC
=4sin²B+

3

4

-2

3

sinBcosC
=4sin²B+

3

4

-2

3

sinBcos（

2π

3

-B）
=sin²B+

3

sinBcosB+

3

4

=

3

2

sin2B-

1

2

cos2B+

5

4

=sin（2B-

π

6

）+

5

4

∵B∈(0，

2π

3

)∴2B-

π

6

∈(-

π

6

，

7π

6

)
∴sin(2B-

π

6

)∈(-

1

2

，1]
∴AD∈(

3

2

，

3

2

]

点评：本题主要考查三角函数的正弦定理、余弦定理，值域等．综合考查了学生解决问题的能力．