Question

已知函数f(x)=2x-

a

2x

（a＞0），且函数f（x）是奇函数
（1）求a值；
（2）判断证明函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）是R上的奇函数，由f（0）=0可求得a；
（2）利用函数单调性的定义，令x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）判断与0的大小关系，即可证明．

解答：解：（1）∵f(x)=2x-

a

2x

的定义域为R，且函数f（x）是奇函数，
∴f（0）=1-a=0，
∴a=1；
（2）f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．
证明：∵f(x)=2x-

a

2x

，a＞0，
∴f′（x）=2^xln2+（-a）×（-1）2^-xln2=2^xln2（1+a）＞0，
∴f（x）为（-∞，+∞）上的增函数．

点评：本题考查函数的奇偶性的应用，考查学生理解应用函数的奇偶性的概念的能力，分析转化的能力，属于中档题．