【题目】如图,已知与
分别是边长为1与2的正三角形,
,四边形
为直角梯形,且
,
,点
为
的重心,
为
中点,
平面
,
为线段
上靠近点
的三等分点.
(1)求证:平面
;
(2)若二面角的余弦值为
,试求异面直线
与
所成角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】分析:(1)连并延长交
于
,连
,由三角形的重心的条件及题意可得
,故
,再根据线面平行的判定定理可得结论.(2)由题意得
两两垂直,由此建立空间直角坐标系.设
,结合条件求得平面
的法向量为
,又平面
的法向量为
,根据二面角的余弦值为
可求得
,进而可求得异面直线
与
所成角的余弦值.
详解:(1)证明:在中,连
并延长交
于
,连
.
因为点为
的重心,
所以,且
为
中点.
又,
所以,
所以.
又为
中点,
所以.
又,
所以,
所以,
,
,
四点共面,
又平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)由题意,平面
,即
平面
,
又平面
,
所以.
因为平面平面
,且交线为
,
,
所以平面
.
又四边形为直角梯形,
,
,
所以,
所以平面
.
因为,
,
所以平面平面
,
又与
分别是边长为1与2的正三角形,
故以为原点,
为
轴,
为
轴,
为
轴建立如图所示的空间直角坐标系
.
设,则
,
,
,
,
,
,
因为,
所以,
,
,
设平面的一个法向量为
,
由,得
,
令,得
.
又平面的法向量
.
由题意得,
解得,
又,
,
所以
.
所以异面直线与
所成角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为建设美丽乡村,政府欲将一块长12百米,宽5百米的矩形空地ABCD建成生态休闲园,园区内有一景观湖EFG(图中阴影部分).以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系xOy(如图所示).景观湖的边界曲线符合函数模型.园区服务中心P在x轴正半轴上,PO=
百米.
(1)若在点O和景观湖边界曲线上一点M之间修建一条休闲长廊OM,求OM的最短长度;
(2)若在线段DE上设置一园区出口Q,试确定Q的位置,使通道直线段PQ最短.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设是由
个有序实数构成的一个数组,记作:
.其中
称为数组
的“元”,
为
的下标.如果数组
中的每个“元”都来自数组
中不同下标的“元”则称
为
的子数组.定义两个数组
,
的关系数为
.
(1)若,
,设
是
的含有两个“元”的子数组,求
的最大值及此时的数组
;
(2)若,
,且
,
为
的含有三个“元”的子数组,求
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从我市移动支付用户中随机抽取100名进行调查,得到如下数据:
每周移动支付次数 | 1次 | 2次 | 3次 | 4次 | 5次 | 6次及以上 |
男 | 10 | 8 | 7 | 3 | 2 | 15 |
女 | 5 | 4 | 6 | 4 | 6 | 30 |
合计 | 15 | 12 | 13 | 7 | 8 | 45 |
(1)把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“移动支付达人”,按分层抽样的方法,在我市所有“移动支付达人”中,随机抽取6名用户
求抽取的6名用户中,男女用户各多少人;
② 从这6名用户中抽取2人,求既有男“移动支付达人”又有女“移动支付达人”的概率.
(2)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,填写下表,问能否在犯错误概率不超过0.01的前提下,认为“移动支付活跃用户”与性别有关?
P(χ2≥k) | 0.100 | 0.050 | 0.010 |
k | 2.706 | 3.841 | .635 |
非移动支付活跃用户 | 移动支付活跃用户 | 合计 | |
男 | |||
女 | |||
合计 |
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【题目】有120粒试验种子需要播种,现有两种方案:方案一:将120粒种子分种在40个坑内,每坑3粒;方案二:120粒种子分种在60个坑内,每坑2粒 如果每粒种子发芽的概率为0.5,并且,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次,且第二次补种的种子颗粒同第一次).假定每个坑第一次播种需要2元,补种1个坑需1元;每个成活的坑可收货100粒试验种子,每粒试验种子收益1元.
(1)用表示播种费用,分别求出两种方案的
的数学期望;
(2)用表示收益,分别求出两种方案的收益
的数学期望;
(3)如果在某块试验田对该种子进行试验,你认为应该选择哪种方案?
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数),圆
与圆
外切于原点
,且两圆圆心的距离
,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆
的极坐标方程;
(2)过点的直线
、
与圆
异于点
的交点分别为点
和点
,与圆
异于点
的交点分别为点
和点
,且
.求四边形
面积的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】古代“五行”学认为:“物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相邻,则这样的排列方法有
A.5种B.10种
C.20种D.120种
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