Question

14．已知函数f（x）是奇函数，f（x）在[0，+∞）上是减函数，且对任意的x∈[-1，1]，不等式 f（ax+1）≤f（x-2）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 确定f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，对任意的x∈[-1，1]，不等式 f（ax+1）≤f（x-2）恒成立?ax+1≥x-2对于任意x∈[-1，1]恒成立?（a-1）x+3≥0对于任意x∈[-1，1]恒成立可求得实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）是奇函数，f（x）在[0，+∞）上是减函数，
∴f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，
∴对任意的x∈[-1，1]，不等式 f（ax+1）≤f（x-2）恒成立
?ax+1≥x-2对于任意x∈[-1，1]恒成立?（a-1）x+3≥0对于任意x∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-（a-1）+3≥0}\\{a-1+3≥0}\end{array}\right.$，解得2≤a≤4．

点评 本题考查函数单调性的性质，考查抽象不等式的求解，解决本题的关键是利用函数单调性去掉不等式中的符号“f”．