Question

19．已知椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（0＜b＜2）离心率e=$\frac{1}{2}$，F₁，A₂分别为左焦点和右顶点，点P（m，n）在椭圆上，若∠F₁PA₂为锐角，则实数m的取值范围是（-2，2）．

Answer 1

分析 根据已知中椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（0＜b＜2）离心率e=$\frac{1}{2}$，求出椭圆的标准方程，结合∠F₁PA₂为锐角，可求实数m的取值范围．

解答 解：∵椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（0＜b＜2），
∴a=2，
又∵椭圆C的离心率e=$\frac{1}{2}$，
∴c=1，
则b²=a²-c²=3，
若点P（m，n）在椭圆上，
则$\left\{\begin{array}{l}m=2cosα\\ n=\sqrt{3}sinα\end{array}\right.$，（α为参数），
则$\overrightarrow{{PF}_{1}}$=（-1-2cosα，-$\sqrt{3}$sinα），$\overrightarrow{{PA}_{2}}$=（2-2cosα，-$\sqrt{3}$sinα），
若∠F₁PA₂为锐角，则$\overrightarrow{{PF}_{1}}$•$\overrightarrow{{PA}_{2}}$=cos²α-2cosα+1=（cosα-1）²＞0，
即cosα≠1，m≠2，
又由cosα=-1时，$\overrightarrow{{PF}_{1}}$与$\overrightarrow{{PA}_{2}}$同向，∠F₁PA₂=0，
故cosα≠-1，m≠-2，
即实数m的取值范围是（-2，2），
故答案为：（-2，2）

点评 本题考查的知识点是椭圆的简单性质，向量的夹角，椭圆的参数方程，难度中档．