Question

已知函数f（x）=x⁵+5x⁴+5x³+1
（1）求f（x）的极值
（2）求f（x）在区间[-2，2]上的最大最小值．

Answer 1

解：f′（x）=5x⁴+20x³+15x²=5x²（x+1）（x+3）
（1）当x≥-1或x≤-3时，f′（x）≥0；-3＜x＜1，f′（x）＜0
函数在（-∞，-3）单调递增，在（-3，-1）单调递减，在（-1，+∞）单调递增
故当x=-3时函数有极大值28，当x=-1时函数有极小值0
（2）由（1）知函数在[-2，-1]单调递增，在（-1，2]单调递减
则当x=-1时函数有最小值-4
由于f（-2）=9，f（2）=153
所以函数在[-2，2]上的最大值为153，最小值为-4
分析：对函数求导可得f′（x）=5x⁴+20x³+15x²=5x²（x+1）（x+3）
（1）先判断使得f′（x）≥0；f′（x）＜0的范围极为函数的单调增区间和减区间，进而可求函数的极值
（2）由（1）知函数在[-2，-1]单调递增，在（-1，2]单调递减，从而可先求得函数的最小值
再比较端点值f（-2）与f（2）的大小，从而可求
点评：本题是导数的应用中最基本的试题类型：由导数的符号求解函数的单调性，单调区间，函数的极值及函数的最值，此类问题具有固定的求解模式，一般难度不大