Question

【题目】如图，在四棱锥中，是平行四边形，，， ，，，分别是，的中点．

（Ⅰ）证明：平面平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）运用几何法和坐标法两种方法进行证明可得结论．（Ⅱ）运用几何法和坐标法两种方法求解，利用坐标法求解时，在得到两平面法向量夹角余弦值的基础上，通过图形判断出二面角的大小，最后才能得到结论．

试题解析：

解法一：（Ⅰ）取中点，连，

∵，

∴，

∵是平行四边形，，，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴平面，

∴.

∵分别是的中点，

∴∥，∥，

∴，，

∵，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，

∴是二面角的平面角.

, ，，

在中，根据余弦定理得，

∴二面角的余弦值为．

解法二：（Ⅰ）∵是平行四边形，，

，∴，

∴是等边三角形，∵是的中点，

∴，∵∥，

∴.

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，

设，由，，

可得，，，

∴，

∵是的中点，∴，

∵，

∴，

∵，，

∴平面，

∵平面，

∴平面平面.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．

设是平面的法向量，

由，得，

令，则．

又是平面的法向量，

∴，

由图形知二面角为钝角，

∴二面角的余弦值为.