Question

已知f （x）是R上的偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，并且f （x）＜0对一切x∈R成立，试判断-

1

f(x)

在（-∞，0）上的单调性，并证明你的结论．

Answer 1

分析：由题意，可先设x₁＜x₂＜0，得到-x₁＞-x₂＞0，再由函数在（0，+∞）上单调递增及偶函数的性质即可得到-

1

f(x)

在（-∞，0）上的单调性

解答：解：-

1

f(x)

是（-∞，0）上的单调递减函数，证明如下：
设x₁＜x₂＜0，则-x₁＞-x₂＞0，
∴f（-x₁）＞f（-x₂），
∵f（x）为偶函数，
∴f（x₁）＞f（x₂）
又-

1

f(x)

-[-

1

f(x2)

]=

1

f(x2)

-

1

f(x1)

=

f(x1)-f(x2)

f(x2)f(x1)

＞0
（∵f（x₁）＜0，f（x₂）＜0）
∴-

1

f(x1)

＞-

1

f(x2)

，
∴-

1

f(x)

是（-∞，0）上的单调递减函数．

点评：本题考查定义法证明函数的单调性及偶函数的性质，灵活利用性质判断出函数值的大小是解答的关键，本题属于抽象函数单调性的证明，此类题有一定的难度，作答时注意函数值间接判断的方法