Question

1．抛物线y²=8x与双曲线上一点$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的有共同的焦点F，两曲线在第一象限的交点为P（x₀，y₀），且P到焦点F的距离为5，则双曲线的离心率e=2．

Answer 1

分析 求出抛物线的焦点坐标，确定双曲线的c=2，结合抛物线的定义建立方程进行求解即可．

解答 解：抛物线y²=8x的焦点坐标F（2，0），
∵双曲线上一点$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1的有共同的焦点F，
∴c=2，即a²+b²=4，
∵P到焦点F的距离为5，
∴$|{PF}|={x_0}+\frac{p}{2}={x_0}+2=5$，
∴${x_0}=3∴{y_0}^2=24$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{9}{a^2}-\frac{24}{b^2}=1}\\{{a^2}+{b^2}=4}\end{array}}\right.$，
∴a²=1，b²=3，
∴$e=\frac{c}{a}=2$，
故答案为：2

点评 本题主要考查双曲线离心率的计算，根据抛物线和双曲线的关系求出a，b，c是解决本题的关键．