Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD‖BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求异面直线PA与CD所成的角；
（2）求证：PC‖平面EBD；
（3）求二面角A-BE-D的大小的余弦值．

Answer 1

分析：（1）一点B为坐标原点，以BA为x轴，以BC为y轴，以BP为z轴，建立空间直角坐标至B-xyz，根据条件求出

CD

和

PD

，然后求出这两个向量的所成角即为异面直线CD与PA所成的角；
（2）欲证PC∥平面EBD，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PC与平面EBD内一直线平行连接AC交BD于G，连接EG，根据比例关系可知PC∥EG，而EG?平面EBD，PC?平面EBD，满足定理所需条件；
（3）先求平面EBD的法向量与平面ABE的法向量，然后利用向量的夹角公式求出此角的余弦值即二面角A-BE-D的大小的余弦值．

解答：解：（1）如图建立空间直角坐标至B-xyz．设BC=a，则
A（3，0，0），P（0，0，3），D（3，3，0），
C（0，a，0）

CD

=（3，3-a，0）

PD

=（3，3，-3）
∵CD⊥PD∴

CD

•

PD

=0
∴a=6
∴

CD

=（3，-3，0）

PA

=（3，0，-3）cos＜

PA

•

CD

＞=

CD • PA

| CD |•| PA |

=

9

3 2 •3 2

=

1

2

，
因此异面直线CD与PA所成的角为60°（4分）
（2）连接AC交BD于G，连接EG．∵

AG

GC

=

AD

BC

=

1

2

，又∵

AE

EP

=

1

2

，∴

AG

GC

=

AE

EP

∴PC∥EG又∵EG?平面EBD，PC?平面EBD
∴PC∥平面EBD（8分）
（3）设平面EBD的法向量为

n

=（x，y，1），因为

BE

=（2，0，1），

BD

=（3，3，0）
由

n • BE =0 n • BD =0

得

2x+1=0 3x+3y=0

∴x=-

1

2

，y=

1

2

∴

n

=(-

1

2

，

1

2

，1)又因为平面ABE的法向量为

m

=（0，1，0），
∴所以，cos（

n

，

m

）=

6

6

．即二面角A-BE-D的大小的余弦值为

6

6

（12分）

点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、两异面直线所成角、二面角及其平面角等有关知识，考查空间想象能力和思维能力，应用向量知识解决立体几何问题的能力．