Question

已知函数f（x）=x³-ax²-bx+a²，x∈R，a，b为常数．
（1）若函数f（x）在x=1处有极值10，求实数a，b的值；
（2）若a=0，
（I）方程f（x）=2在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解，求实数b的取值范围；
（II）不等式f（x）+2b≥0对?x∈[1，4]恒成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（1）对函数求导，由题意可得，f′（1）=0，f（1）=10，代入可求a，b
（2）（I）由题意f（x）-2=可得0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，对函数g（x）求导可得g’（x）=3x²-b，分类讨论：分（ⅰ）若b≤0，（ⅱ）b＞0，两种情况讨论g（x）在[-4，4]上的单调性，结合单调性可求b
（II）法一：由已知整理可得（x-2）b≤x³，分类讨论（ⅰ）若x-2=0（ⅱ）若x-2＜0（ⅲ）若x-2＞0三种情况，由恒成立转化为求解函数相应的最值即可求解
法二：由已知可得x³-bx+2b≥0，构造函数T（x）=x³-bx+2b，通过讨论函数T（x）的单调性可求函数T（x）在[1，4]上的最小值，通过恒成立与函数最值的相互转化关系即可求解b的范围

解答：解：（1）对函数求导可得，f′（x）=3x²-2ax-b
由题意可得，f′（1）=0，f（1）=10（2分）
∴3-2a-b=0，1-a-b+a²=10
∴a=3，b=-3或a=-4，b=11（4分）
经检验a=3，b=-3不合题意，舍去
∴a=-4，b=11（5分）
（2）（I）由f（x）=2，得f（x）-2=0，令g（x）=f（x）-2=x³-bx-2，
则方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解．
∵g’（x）=3x²-b，
（ⅰ）若b≤0，则g’（x）≥0恒成立，且函数g（x）不为常函数，
∴g（x）在区间[-4，4]上为增函数，不合题意，舍去．          （6分）
（ⅱ）若b＞0，则函数g（x）在区间（-∞，-

3b

3

）上为增函数，在区间（-

3b

3

，

3b

3

）上为减函数，在区间（

3b

3

，+∞）上为增函数，
由方程g（x）=0在x∈[-4，4]上恰有3个不相等的实数解，可得

g(-4)≤0 g(- b 3 )＞0 g( b 3 )＜0 g(4)≥0

（9分）
解得

b≤ 33 2 b＞3 b＞0 b≤ 31 2

∴b∈(3，

31

2

]（ （10分） ）
（II）法一：由不等式f（x）+2b≥0，得x³-bx+2b≥0，即（x-2）b≤x³，
（ⅰ）若x-2=0即x=2时，b∈R；   （11分）
（ⅱ）若x-2＜0即x∈[1，2）时，b≥在区间[1，2）上恒成立，令h（x）=，则b≥h（x）_max．
∵h’（x）=，
∴h’（x）＜0在x∈[1，2）上恒成立，所以h（x）在区间[1，2）上是减函数，
∴h（x）_max=h（1）=-1，
∴b≥-1．        （13分）
（ⅲ）若x-2＞0即x∈（2，4]时，b≤在区间（2，4]上恒成立，则b≤h（x）_min．
由（ⅱ）可知，函数h（x）在区间（2，3）上是减函数，在区间（3，4]上是增函数，
∴h（x）_min=h（3）=27，
∴b≤27  （15分）
综上所述，b∈[-1，27]（16分）
法二：∵f（x）+2b≥0
∴x³-bx+2b≥0
设T（x）=x³-bx+2b，T′（x）=3x²-b（11分）
当b≤0时，T′（x）=3x²-b≥0，T（x）在[1，4]上为增函数，T（x）_min=T（1）=1+b，所以1+b≥0，-1≤b≤0（12分）
当b＞0时，T（x）在区间（-∞，-

b 3

）上为增函数，在区间（-

b 3

，

b 3

）上为减函数，在区间（

b 3

，+∞）上为增函数，
若

b 3

≤1，即0＜b≤3时，T（x）在[1，4]上为增函数，T（x）_min=T（1）=1+b
所以1+b≥0，0＜b≤3（13分）
若1＜

b 3

＜4时，3＜b＜48时，T（x）在[1，

b 3

]上为减函数，在[

b 3

，4]上为增函数，
所以T(x)min=T(

b 3

)≥0，得3＜b≤27（14分）
若

b 3

≥4时，即b≥48时，T（x）在[1，4]上为减函数，T（x）_min=T（4）=64-2b≥0，
得b≤32，舍去．  （15分）
故b的取值范围是[-1，27]（16分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数研究函数的单调性，函数的极值与最值的求解及函数的恒成立与函数的最值的相互转化关系的应用．