Question

1．设函数f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）求f（x）在[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 根据向量数量积的坐标表示式，再用降幂公式和辅助角公式化简整理，可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，最后根据函数y=Asin（ωx+φ）+k的单调增区间和最值即可得到本题的答案．

解答 解：（1）f（x）=$\overrightarrow{m}$$•\overrightarrow{n}$，其中向量$\overrightarrow{m}$=（2cosx，1），$\overrightarrow{n}$=（cosx，$\sqrt{3}$sin2x），
∴f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x-1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
∴-$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴-$\frac{π}{3}$+kπ≤x≤$\frac{π}{6}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的单调递增区间为[-$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{π}{6}$+kπ]，k∈Z，
（2）由（1）可知，f（x）在[0，$\frac{π}{6}$]为增函数，在[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]上为减函数，
∴当x=$\frac{π}{6}$，函数有最大值，即为2+1=3，
f（0）=2sin$\frac{π}{6}$+1=2，f（$\frac{π}{2}$）=2sin（π+$\frac{π}{6}$）+1=-1+1=0，
∴f（x）的最小值为0．

点评 本题以向量的数量积运算为载体，着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，属于基础题．