Question

设点P是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上任意一点，过点P的直线与两渐近线分别交于P₁，P₂，设λ=

P1P

PP2

，求证：S△OP1P2=

(1+λ)2

4|λ|

ab．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），则y₁=

b

a

x₁，y₂=-

b

a

x₂，依题意，x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

b a x1+λ(- b a x2)

1+λ

=

b

a

•

x1-λx2

1+λ

，将点P（x，y）代入双曲线方程，可得x₁x₂=

a2(1+λ)2

4λ

，|OP₁|•|OP₂|=

c2(1+λ)2

4|λ|

，设直线OP₁与OP₂所成的夹角为2θ，由tanθ=

b

a

，进一步可得sin2θ=

2ab

(a2-b2)2+(2ab)2

=

2ab

c2

，从而可证得结论成立．

解答： 证明：设P（x，y），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），
则y₁=

b

a

x₁，y₂=-

b

a

x₂，∵λ=

P1P

PP2

，
∴x=

x1+λx2

1+λ

，y=

y1+λy2

1+λ

=

b a x1+λ(- b a x2)

1+λ

=

b

a

•

x1-λx2

1+λ

，
由点P（x，y）在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上，
∴

(x1+λx2)2

a2(1+λ)2

-

(x1-λx2)2

a2(1+λ)2

=1，
化简得：x₁x₂=

a2(1+λ)2

4λ

，
又|OP₁|=

x12+ b2 a2 x12

=

c

a

|x₁|，同理可得|OP₂|=

c

a

|x₂|，
∴|OP₁|•|OP₂|=

c

a

|x₁|•

c

a

|x₁|=

c2

a2

•

a2(1+λ)2

4|λ|

=

c2(1+λ)2

4|λ|

．
设直线OP₁与OP₂所成的夹角为2θ，∵tanθ=

b

a

，
∴tan2θ=

2tanθ

1-tan2θ

=

2× b a

1- b2 a2

=

2ab

a2-b2

，
∴sin2θ=

2ab

(a2-b2)2+(2ab)2

=

2ab

c2

，
∴S△OP1P2=

1

2

•|OP₁|•|OP₂|sin2θ=

1

2

•

a2(1+λ)2

4|λ|

•

2ab

c2

=

(1+λ)2

4|λ|

ab．

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质的综合应用，考查直线与圆锥曲线的位置关系，求得|OP₁|•|OP₂|=

c2(1+λ)2

4|λ|

与sin2θ=

2ab

(a2-b2)2+(2ab)2

=

2ab

c2

是难点，也是关键，属于难题．