Question

已知α为锐角，且sinα=

4

5

．
（1）求tan(α-

π

4

)的值；
（2）求

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

的值．

Answer 1

分析：（1）由α为锐角及sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而得到tanα的值，然后把所求的式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入即可求出值；
（2）所求式子分子第二项利用二倍角的正弦函数公式化简，分母第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，合并后分子分母同时除以cos²α，利用同角三角函数间的基本关系弦化切后，将tanα的值代入即可求出值．

解答：解：（1）∵α为锐角，且sinα=

4

5

，
∴cosα=

1-sin2α

=

3

5

，
∴tanα=

4

3

，
则tan(α-

π

4

)=

tanα-1

1+tanα

=

1

7

；
（2）由（1）得到tanα=

4

3

，
则

sin2α+sin2α

cos2α+cos2α

=

sin2α+2sinαcosα

2cos2α-sin2α

=

tan2α+2tanα

2-tan2α

=20．

点评：此题考查了三角函数的化简求值，涉及的知识有同角三角函数间的基本关系，两角和与差的正切函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键，第二小问弦化切的技巧是利用二倍角的正弦、余弦函数公式把原式变形后，分子分母同时除以cos²α．