Question

【题目】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，如图．

（1）求证：平面AB1D1∥平面C1BD；
（2）试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E，F，并证明：A1E＝EF＝FC.

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD B1C1 ， 所以四边形AB1C1D是平行四边形，所以AB1∥C1D.又因为C1D 平面C1BD，AB1 平面C1BD，所以AB1∥平面C1BD.同理，B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1＝B1 ， AB1 平面AB1D1 ， B1D1 平面AB1D1 ， 所以平面AB1D1∥平面C1BD.

（2）证明：如图，设A1C1与B1D1交于点O1 ， 连接AO1 ， 与A1C交于点E.
因为AO1 平面AB1D1 ，
所以点E也在平面AB1D1内，所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点．
连接AC交BD于O，连接C1O与A1C交于点F，则点F就是A1C与平面C1BD的交点．
下面证明A1E＝EF＝FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1＝EO1 ， 平面A1C1CA∩平面C1BD＝C1F，平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中，O1是A1C1的中点，所以E是A1F的中点，
即A1E＝EF.同理，CF＝FE，所以A1E＝EF＝FC
【解析】（1）结合 正方体的结构特征，可以证明平面AB1D1内有两条相交直线都∥平面C1BD.得证；
（2）通过面面平行的性质，证明出平面AB1D1∥平面C1BD，所以EO1∥C1F，再在三角形中由中点的性质证明。