【题目】在正方体ABCD-A1B1C1D1中,如图.
(1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD;
(2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=FC.
【答案】
(1)证明:因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD B1C1 , 所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D.又因为C1D
平面C1BD,AB1
平面C1BD,所以AB1∥平面C1BD.同理,B1D1∥平面C1BD.又因为AB1∩B1D1=B1 , AB1
平面AB1D1 , B1D1
平面AB1D1 , 所以平面AB1D1∥平面C1BD.
(2)证明:如图,设A1C1与B1D1交于点O1 , 连接AO1 , 与A1C交于点E.
因为AO1 平面AB1D1 ,
所以点E也在平面AB1D1内,所以点E就是A1C与平面AB1D1的交点.
连接AC交BD于O,连接C1O与A1C交于点F,则点F就是A1C与平面C1BD的交点.
下面证明A1E=EF=FC.
因为平面A1C1CA∩平面AB1D1=EO1 , 平面A1C1CA∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.
在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,
即A1E=EF.同理,CF=FE,所以A1E=EF=FC
【解析】(1)结合 正方体的结构特征,可以证明平面AB1D1内有两条相交直线都∥平面C1BD.得证;
(2)通过面面平行的性质,证明出平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F,再在三角形中由中点的性质证明。
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【题目】已知函数f(x)=﹣x3+3x2+9x+a(a为常数).
(1)求函数f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间[﹣2,2]上的最大值是20,求f(x)在该区间上的最小值.
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【题目】某市要对两千多名出租车司机的年龄进行调查,现从中随机抽出100名司机,已知抽到的司机年龄都在[20,45)岁之间,根据调查结果得出司机的年龄情况残缺的频率分布直方图如图所示,利用这个残缺的频率分布直方图估计该市出租车司机年龄的中位数大约是( )
A.31.6岁
B.32.6岁
C.33.6岁
D.36.6岁
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【题目】2015年12月,京津冀等地数城市指数“爆表”,北方此轮污染为2015年以来最严重的污染过程.为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关,现采集到北方某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表:
时间 | 星期一 | 星期二 | 星期三 | 星期四 | 星期五 | 星期六 | 星期七 |
车流量x(万辆) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
PM2.5的浓度y(微克/立方米) | 28 | 30 | 35 | 41 | 49 | 56 | 62 |
(Ⅰ)由散点图知y与x具有线性相关关系,求y关于x的线性回归方程;
(Ⅱ)(ⅰ)利用(Ⅰ)所求的回归方程,预测该市车流量为8万辆时PM2.5的浓度;
(ⅱ)规定:当一天内PM2.5的浓度平均值在(0,50]内,空气质量等级为优;当一天内PM2.5的浓度平均值在(50,100]内,空气质量等级为良.为使该市某日空气质量为优或者为良,则应控制当天车流量在多少万辆以内?(结果以万辆为单位,保留整数.)
参考公式:回归直线的方程是 =
x+
,其中
=
,
=
﹣
.
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【题目】下列命题中正确的是( )
A.经过点P0(x0 , y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
C.经过任意两个不同点P1(x1 , y1),P2(x2 , y2)的直线都可用方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示
D.不经过原点的直线都可以用方程 表示
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