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在平面直角坐标系xOy中,抛物线C:y2=8x的焦点为F.椭圆Σ的中心在坐标原点,离心率e=
1
2
,并以F为一个焦点.
(1)求椭圆Σ的标准方程;
(2)设A1A2是椭圆Σ的长轴(A1在A2的左侧),P是抛物线C在第一象限的一点,过P作抛物线C的切线,若切线经过A1,求证:tan∠A1PA2=
2
(1)依题意,设椭圆Σ的标准方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),
2p=8,所以p=4,
p
2
=2
,F(2,0),c=2,
e=
c
a
=
1
2
,所以a=4,b2=a2-c2=12,
所以椭圆Σ的标准方程为
x2
16
+
y2
12
=1

(2)证明:抛物线C在第一象限的部分可看作函数y=
8x
=2
2
x
(x>0)的图象,
依题意,不妨设P(
y02
8
y0)
(y0>0),
因为y/=2
2
1
2
x
=
2
x

所以切线PA1的斜率kPA1=y/|x=x0=
4
y0
,PA1y-y0=
4
y0
(x-
y02
8
)

由(1)得A1(-4,0),代入解得y0=4
2
,则P(4,4
2
)
,A2(4,0),∴PA2⊥A1A2
在Rt△PA1A2中,A1A2=8,PA2=4
2
,∠PA2A1是直角,所以tan∠A1PA2=
A1A2
PA2
=
2
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为F(-
3
,0)
,右顶点为D(2,0),设点A(1,
1
2
).
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程;
(3)过原点O的直线交椭圆于B,C两点,求△ABC面积的最大值,并求此时直线BC的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a,b>0)的两顶点为A1,A2,虚轴两端点为B1,B2,两焦点为F1,F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2,切点分别为A,B,C,D.则:
(Ⅰ)双曲线的离心率e=______;
(Ⅱ)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值
S1
S2
=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆E经过点A(2,3),对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在x轴上,离心率e=
1
2

(1)求椭圆E的方程;
(2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程;
(3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在,请找出;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知椭圆C:
x2
25
+
y2
16
=1
,过点(3,0)的且斜率为
4
5
的直线被C所截线段的中点坐标为(  )
A.(
1
2
6
5
)
B.(
1
2
,-
6
5
)
C.(
3
2
6
5
)
D.(
3
2
,-
6
5
)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知两点M(-1,0)、N(1,0),动点P(x,y)满足|
MN
|•|
NP
|-
MN
MP
=0,
(1)求点P的轨迹C的方程;
(2)假设P1、P2是轨迹C上的两个不同点,F(1,0),λ∈R,
FP1
FP2
,求证:
1
|FP1|
+
1
|FP2|
=1.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知动点A在直线l:x=1上,点C的坐标为(-1,0),经过点A垂直于直线l的直线,交线段AC的垂直平分线于点P.求点P的轨迹.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,⊙O:x2+y2=16,A(-2,0),B(2,0)为两定点,l是⊙O的一条动切线,若过A,B两点的抛物线以直线l为准线,则抛物线焦点所在的轨迹是(  )
A.双曲线B.椭圆C.抛物线D.圆

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

已知椭圆的一个焦点为(
2
,0)
,且长轴长为短轴长的
3
倍.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设椭圆的下顶点为A,且椭圆与直线y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点M,N.当|AM|=|AN|时,求m的取值范围.

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