Question

已知=（sinθ，-2）与=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-j）=，0＜j＜，求j的值．

Answer 1

解：（1）因为与互相垂直，
所以•=0．
所以sinθ-2cosθ=0，即sinθ=2cosθ．
因为sin²θ+cos²θ=1，
所以（2cosθ）²+cos²θ=1．
解得cos²θ=．则sin²θ=．
因为θ∈（0，），
所以sinθ＞0，cosθ＞0，
所以sinθ=，cosθ=．
（2）因为0＜j＜，0＜θ＜，所以-＜θ-j＜，
所以cos（θ-j）==，
所以cosj=cos[θ-（θ-j）]=cosθcos（θ-j）+sinθsin（θ-j）=．所以j=．
分析：（1）先根据与互相垂直得到•=0，然后将=（sinθ，-2）与=（1，cosθ）代入可得到sinθ=2cosθ，再由同角三角函数的基本关系和θ的取值范围可求得sinθ和cosθ的值．
（2）先根据j与θ的范围确定θ-j的范围，进而根据同角三角函数的基本关系可求得cos（θ-j）的值，再由cosj=cos[θ-（θ-j）]和两角和与差的余弦公式可求得最后答案．
点评：本题主要考查向量垂直与数量积的关系、同角三角函数的基本关系和两角和与差的公式．考查基础知识的综合应用，三角函数与向量的综合题是高考的热点问题，每年必考，一定要加强练习．