Question

已知f(x)=sin(x+

π

6

)-tanα•cosx，且f(

π

3

)=

1

2

．
（1）求tanα的值；
（2）当x∈[

π

2

，π]时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用f(

π

3

)=

1

2

求出tanα的值．
（2）利用（1）的结果，化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，根据x的范围，求出函数的最小值．

解答：解：（1）f(

π

3

)=

1

2

所以sin(

π

3

+

π

6

)-tanα•cos

π

3

=

1

2

，

1

2

tanα=

1

2

所以tanα=1；
（2）由（1）得：f(x)=sin(x+

π

6

)-cosx=

3

2

sinx-

1

2

cosx=sin（x-

π

6

），
因为x∈[

π

2

，π]所以x-

π

6

∈[

π

3

，

5π

6

]，sin（x-

π

6

）∈[

1

2

，1]；
当x∈[

π

2

，π]时，函数f（x）的最小值为：

1

2

．

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，三角函数的最值的求法，考查计算能力，常考题型．