Question

【题目】已知函数f（x）=ax2+（2a+1）x+b，其中a，b∈R． （Ⅰ）当a=1，b=﹣4时，求函数f（x）的零点；
（Ⅱ）如果函数f（x）的图象在直线y=x+2的上方，证明：b＞2；
（Ⅲ）当b=2时，解关于x的不等式f（x）＜0．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由f（x）=x2+3x﹣4=0，解得x=﹣4，或x=1．

所以函数f（x）有零点﹣4和1．

（Ⅱ）证明：（方法1）因为f（x）的图象在直线y=x+2的上方，

所以ax2+（2a+1）x+b＞x+2对x∈R恒成立．

即ax2+2ax+b﹣2＞0对x∈R恒成立．

所以当x=0时上式也成立，代入得b＞2．

（方法2）因为f（x）的图象在直线y=x+2的上方，

所以ax2+（2a+1）x+b＞x+2对x∈R恒成立．

即ax2+2ax+b﹣2＞0对x∈R恒成立．

当a=0时，显然b＞2．

当a≠0时，

由题意，得a＞0，且△=（2a）2﹣4a（b﹣2）＜0，

则4a（b﹣2）＞4a2＞0，

所以4a（b﹣2）＞0，即b＞2．

综上，b＞2．

（Ⅲ）由题意，得不等式ax2+（2a+1）x+2＜0，即（ax+1）（x+2）＜0．

当a=0时，不等式化简为x+2＜0，解得x＜﹣2；

当a≠0时，解方程（ax+1）（x+2）=0，得根x1=﹣2， ．

所以，当a＜0时，不等式的解为：x＜﹣2，或 ；

当 时，不等式的解为： ；

当 时，不等式的解集为；

当 时，不等式的解为： ．

综上，当a＜0时，不等式的解集为{x|x＜﹣2，或 ；

当a=0时，不等式的解集为{x|x＜﹣2}；

当 时，不等式的解集为 ；

当 时，不等式的解集为；

当 时，不等式的解集为

【解析】（Ⅰ）解方程x2+3x﹣4=0，即可得到所求零点；（Ⅱ）（方法1）由题意可得ax2+（2a+1）x+b＞x+2对x∈R恒成立．考虑x=0，可得结论；

（方法2）由题意可得ax2+2ax+b﹣2＞0对x∈R恒成立．讨论当a=0时，当a≠0时，得a＞0，且△=（2a）2﹣4a（b﹣2）＜0，即可得证；（Ⅲ）由题意可得（ax+1）（x+2）＜0，对a讨论，当a＜0，a=0，当 时，当 时，当 时，运用二次不等式的解法，即可得到所求解集．

【考点精析】关于本题考查的二次函数的性质，需要了解增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小才能得出正确答案．