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已知是椭圆的左、右焦点,且离心率,点为椭圆上的一个动点,的内切圆面积的最大值为.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若是椭圆上不重合的四个点,满足向量共线,
线,且,求的取值范围.
(1);(2)

试题分析:本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查,具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识,提示考生对圆锥曲线的综合题加以重视,本题主要考查考生的推理论证能力,运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想.(1)利用方程思想和几何性质,得到含有的两个等量关系,进而利用待定系数法求解椭圆方程;(2)通过直线与方程联立,借助韦达定理和弦长公式将进行表示为含有的函数关系式,利用换元法和二次函数求值域的思路寻求范围.
试题解析:(1)由几何性质可知:当内切圆面积取最大值时,
取最大值,且.

为定值,
综上得
又由,可得,即
经计算得
故椭圆方程为.                                                (5分)
(2) ①当直线中有一条直线垂直于轴时,.
②当直线斜率存在但不为0时,设的方程为:,由消去
可得,代入弦长公式得: 
同理由消去可得
代入弦长公式得:
所以
,则,所以
由①②可知,的取值范围是.                     (12分)
练习册系列答案
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