Question

已知A（-2，0），B（2，0），动点P满足∠APB=θ，且|PA|•|PB|cos2

θ

2

=4．
（1）求动点P的轨迹C；
（2）设过M（0，1）的直线l（斜率存在）交P点轨迹C于P、Q两点，B₁、B₂是轨迹C与y轴的两个交点，直线B₁P与B₂Q交于点S，试问：当l转动时，点S是否在一条定直线上？若是，请写出这直线的方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先根据余弦定理求出|PA|+|PB|的值，验证轨迹C为椭圆方程，从而得到答案．
（2）先假设出直线l的方程，然后与（1）所求的椭圆方程联立消去y求出两根之和与两根之积，再表示出B₁P、B₂Q的关系式二者联立消去x得到y的关系式，最后将求出的两根之和与两根之积代入即可得到答案．

解答：解：（1）由余弦定理得|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|cosθ
即16=|PA|2+|PB|2-2|PA||PB|(2cos2

θ

2

-1)=(|PA|+|PB|)2-16
∴|PA|+|PB|=4

2

＞|AB|
∴动点P的轨迹C是以A、B为焦点，长轴长为4

2

的椭圆，方程为

x2

8

+

y2

4

=1
（2）设l为y=kx+1，则与

x2

8

+

y2

4

=1联立得（1+2k²）x²+4kx-6=0
记P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=

-8k

1+2k2

x1x2=

-6

1+2k2

B1P：y+2=

y1+2

x1

xB2Q：y-2=

y2-2

x2

x
联立得

x1

y1+2

(y+2)=

x2

y2-2

(y-2)
即y=2

x2(y1+2)+x1(y2-2)

x2(y1+2)-x1(y2-2)

=2

x2(kx1+3)+x1(kx2-1)

x2(kx1+3)-x1(kx2-1)

=2

2kx1x2+3x2-x1

3x2+x1

=2

-12k 1+2k2 +3(- 4k 1+2k2 -x1)-x1

3(- 4k 1+2k2 -x1)+x1

=4
这说明当l转动时，点S恒在定直线y=4上

点评：本题主要考查椭圆方程的求法和直线与圆锥曲线的综合问题．一般是直线与圆锥曲线的方程联立消去y，得到两根之和与两根之积的关系式，再结合题中所给条件解题．