Question

已知函数f（x）=e^x，其图象在点P（2，f（2））处的切线为l．
（1）求y=f（x）、直线x=2及两坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积；
（2）求y=f（x）、直线l及y轴围成图形的面积．

Answer 1

分析：（1）本题要求的是一个旋转体的体积，看清组成图形的最主要的曲线，和组成图形的两个端点处的数据，用定积分写出体积的表示形式，得到结果．
（2）首先求出曲线在定点的切线，用上方的曲线的解析式减去下方曲线的解析式，把两个解析式做差以后，在0到2上积分，得到结果．

解答：解：（1）f（x）=e^x、直线x=2及两坐标轴围成的图形绕x轴旋转一周所得几何体的体积是
V=

∫

2 0

π(ex)2dx=

π

2

e2x

.

2 0

=

π

2

(e4-1)
（2）函数f（x）=e^x，其图象在点P（2，f（2））处的切线为l．
直线l的斜率k=f'（2）=e²，
则直线方程为：y=e²x-e²
∴S=

∫

2 0

[ex-(e2x-e2)]dx=(ex-

e2

2

x2+e2x)

.

2 0

=e2-1

点评：本题考查用定积分求几何体的面积和体积，这是高中阶段所学的定积分的简单应用，解题时只要注意到体积和面积主要是由哪一条曲线构成就可以．