Question

13．等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀=0，S₁₅=25，则$\frac{{S}_{n}+4}{n}$的最小值为-1．

Answer 1

分析 由已知条件利用等差数列的前n项和公式列出方程组求出等差数列的首项和公差，由此能求出$\frac{{S}_{n}+4}{n}$的最小值．

解答 解：∵等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知S₁₀=0，S₁₅=25，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=0}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=25}\end{array}\right.$，解得${a}_{1}=-3，d=\frac{2}{3}$，
∴S_n=-3n+$\frac{n（n-1）}{2}×\frac{2}{3}$=$\frac{{n}^{2}-10n}{3}$，
∴$\frac{{S}_{n}+4}{n}$=$\frac{\frac{{n}^{2}-10n}{3}+4}{n}$=$\frac{n}{3}+\frac{4}{n}$-$\frac{10}{3}$≥2$\sqrt{\frac{n}{3}×\frac{4}{n}}$-$\frac{10}{3}$=2$\sqrt{\frac{4}{3}}$-$\frac{10}{3}$，
∴当$\frac{n}{3}=\frac{4}{n}$，即n=3或n=4时，$\frac{{S}_{n}+4}{n}$取最小值1+$\frac{4}{3}-\frac{10}{3}$=-0．
∴$\frac{{S}_{n}+4}{n}$的最小值为-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查与等差数列的前n项和有关的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．