Question

3．设向量$\overrightarrow{AB}$=（1，2cosθ），$\overrightarrow{BC}$=（m，-4），θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）．
（1）若m=-4，且A、B、C三点共线，求θ的值；
（2）若对任意m∈[-1，0]，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$≤10恒成立，求sin（θ-$\frac{π}{2}$）的最大值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得$\overrightarrow{AB}$∥BC，即$\frac{-4}{1}$=$\frac{-4}{2cosθ}$，求得cosθ 的值，可得θ的值．
（2）由题意可得m²+m+16-8cosθ≤10恒成立，根据m²+m≤0，可得16-8cosθ≤10恒成立，求得cosθ≥$\frac{3}{4}$，从而求得sin（θ-$\frac{π}{2}$）=-cosθ 的最大值．

解答 解：（1）若m=-4，向量$\overrightarrow{AB}$=（1，2cosθ），$\overrightarrow{BC}$=（-4，-4），θ∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
由A、B、C三点共线，可得$\overrightarrow{AB}$∥BC，即$\frac{-4}{1}$=$\frac{-4}{2cosθ}$，求得cosθ=$\frac{1}{2}$，θ=±$\frac{π}{3}$．
（2）若对任意m∈[-1，0]，$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=（1+m，2cosθ-4）•（m，-4）=m（m+1）+16-8cosθ=m²+m+16-8cosθ≤10恒成立，
∵m²+m≤0，∴16-8cosθ≤10恒成立，求得cosθ≥$\frac{3}{4}$．
故sin（θ-$\frac{π}{2}$）=-sin（$\frac{π}{2}$-θ）=-cosθ≤-$\frac{3}{4}$，故sin（θ-$\frac{π}{2}$）的最大值为-$\frac{3}{4}$．

点评 本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，函数的恒成立问题，属于中档题．