Question

15．已知f（x）=x²+4x+3．
（1）求f（x）在区间[t，t+1]上的最小值g（t）；
（2）画出g（t）的图象；
（3）求使得g（t）的值为8时的t值．

Answer 1

分析 （1）f（x）=x²+4x+3=（x+2）²-1，顶点是（-2，-1），由于抛物线开口向上，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系，即可得到结论；
（2）由（1）中g（t）的解析式，结合二次函数的图象，可得函数的图象；
（3）由（2）中函数的图象，可得g（t）的值为8时的t值．

解答 解：（1）f（x）=x²+4x+3=（x+2）²-1，顶点是（-2，-1），由于抛物线开口向上
①当t+1＜-2，即t＜-3时，最小值是g（t）=f（t+1）=（t+1）²+4（t+1）+3=t²+6t+8；
②当t＞-2时，最小值是g（t）=f（t）=t²+4t+3，；
③-3＜t＜-2时，最小值是g（t）=f（-2）=-1，
综上所述：g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{t}^{2}+6t+8，t＜-3\\-1，-3≤t≤-2\\{t}^{2}+4t+3，t＞-2\end{array}\right.$
（2）g（t）的图象如下图所示：

（3）由图可得：当t=-5，或t=1时，g（t）=8．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．