Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数在处的切线方程；

（2）令，讨论函数的零点的个数；

（3）若，正实数满足，证明： ．

Answer 1

【答案】（1）2x﹣y﹣1=0；（2）见解析；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算，求出切线方程即可；
（Ⅱ）求出函数的导数，通过讨论 的范围，根据函数的单调区间和函数的极值即可讨论函数的零点的个数；；
（Ⅲ）得到 令，则，根据函数的单调性求出，证明结论即可．

试题解析：

（1）当a=0时，f（x）= lnx+x，

则f（1）=1，所以切点为（1，1），

又f′（x）= +1，则切线斜率k = f′（1）=2，

故切线方程为：y﹣1=2（x﹣1），即2x﹣y﹣1=0

（2）g（x）=f（x）﹣（ax﹣1）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x+1，

所以g′（x）=﹣ax+（1﹣a）=，

当a≤0时，因为x＞0，所以g′（x）＞0．

所以g（x）在（0，+∞）上是递增函数

而

所以函数有且只有一个零点

当0<a<1时，g′（x）=，

令g′（x）=0，得x=，

所以当x∈（0，）时，g′（x）＞0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＜0，

因此函数g（x）在x∈（0，）是增函数，在（，+∞）是减函数，

∴x=时，g（x）有极大值g（）=﹣lna>0

又

∴当0<a<1时函数有两个零点

（3）证明：当

所以

即为：

所以

令

所以

所以

所以

因为