Question

【题目】【2018福建福州市一中高三上学期期中考试】已知椭圆： 的右焦点为，点在椭圆上，且与轴交点恰为中点．

（I）求椭圆的方程；

（II）过作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点和．求四边形的面积的最小值．

Answer 1

【答案】（I）；（II）

【解析】试题分析：（1）由题意易得，即，根据椭圆的定义可求出的值，故而可求出，即可求出椭圆的方程；（2）考虑直线的斜率为0或不存在，分别求得面积，讨论当直线的斜率存在且不为零时，设直线的方程为，（ ），代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式可得，将换为得，由四边形的面积公式，运用换元法和基本不等式，可得最小值；，即可得到面积的最小值

试题解析：（1）依题意， ，另一焦点坐标为，

，所以， ，所以，所以椭圆的方程为．

（2）当垂直于坐标轴时， ， ， ，

当不垂直于坐标轴时，设直线的方程为， ， ，

由，得，

， ， ，

，

，

同理， ，

所以，

因为，当且仅当，即时等号成立，所以.