Question

【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.

（1）求证:BD⊥平面ACFE;
（2）当直线FO与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.

Answer 1

【答案】
（1）证明:在菱形 中,可得 ，又因为 平面 , ，且 平面
（2）解：取 的中点为 ，以 为坐标原点,以 为 轴,以 为 轴，以 为 轴,建立空间直角坐标系，则 ，则 ,设平面 的法向量 ，
由 ，也就是 ，可取 ①
则 ，解得 ，故

设平面 的法向量为
设平面 的法向量为 ,
同理①可得
则 ，则二面角 的余弦值为
【解析】本题主要考查空间二面角的求法以及线面垂直的判定定理的应用。（1）主要是利用线面垂直的判定定理和性质定理进行证明。（2）建立空间直角坐标系，利用向量坐标进行求解。
【考点精析】关于本题考查的直线与平面垂直的判定，需要了解一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能得出正确答案．