Question

12．若a＞0，b＞0，求证：$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$．

Answer 1

分析 运用分析法证明，平方后整理即证a²+b²≥2ab，由完全平方式非负，即可得证．

解答 证明：运用分析法证明．
由于a＞0，b＞0，要证$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$，
即证（$\frac{a+b}{2}$）²≤$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{2}$，
即证a²+b²+2ab≤2a²+2b²，
即a²+b²≥2ab，
即（a-b）²≥0，显然成立．
故$\frac{a+b}{2}$≤$\sqrt{\frac{{a}^{2}{+b}^{2}}{2}}$．

点评 本题考查不等式的证明，运用分析法证明，考查运算能力和推理能力，属于基础题．