Question

7．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n=3a_n-3，数列{b_n}的前n项和T_n满足$\frac{{T}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{T}_{n}}{n}$+1且b₁=1．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=$\frac{{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和P_n；
（3）数列{S_n}中是否存在不同的三项S_p，S_q，S_r，使这三项恰好构成等差数列？若存在，求出p，q，r的关系；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据a_n=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$得出{a_n}为等比数列，由{$\frac{{T}_{n}}{n}$}为等差数列求出{$\frac{{T}_{n}}{n}$}的通项公式，再得出数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）使用错位相减法求和；
（3）假设存在三项成等差数列，根据等差数列的性质化简得出矛盾．

解答 解：（1）∵2S_n=3a_n-3，
当n=1时，2a₁=3a₁-3，
∴a₁=3．
当n≥2时，2a_n=2S_n-2S_n-1=（3a_n-3）-（3a_n-1-3），
∴a_n=3a_n-1．
∴{a_n}是以3为首项，以3为公比的等比数列．
∴a_n=3ⁿ．
∵$\frac{{T}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{T}_{n}}{n}$+1，
∴$\frac{{T}_{n+1}}{n+1}$-$\frac{{T}_{n}}{n}$=1，
∴{$\frac{{T}_{n}}{n}$}是以1为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\frac{{T}_{n}}{n}$=n．即T_n=n²．
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=n²-（n-1）²=2n-1．
当n=1时，上式仍成立，
∴b_n=2n-1．
（2）由（1）知c_n=$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$．
∴P_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=$\frac{1}{3}$+$\frac{3}{{3}^{2}}$+$\frac{5}{{3}^{3}}$+$\frac{7}{{3}^{4}}$…+$\frac{2n-1}{{3}^{n}}$．①
∴$\frac{1}{3}$P_n=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{3}{{3}^{3}}$+$\frac{5}{{3}^{4}}$+…+$\frac{2n-3}{{3}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$．②
①-②得：$\frac{2}{3}$P_n=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{{3}^{2}}$+2•$\frac{1}{{3}^{3}}$+2•$\frac{1}{{3}^{4}}$+…+2•$\frac{1}{{3}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{1}{3}$+2•$\frac{\frac{1}{{3}^{2}}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$-$\frac{2n-1}{{3}^{n+1}}$=$\frac{2}{3}$-$\frac{2n+2}{{3}^{n+1}}$．
∴P_n=1-$\frac{n+1}{{3}^{n}}$．
（3）由（1）知{a_n}是以3为首项，以3为公比的等比数列，
∴S_n=$\frac{3（1-{3}^{n}）}{1-3}$=$\frac{{3}^{n+1}-3}{2}$．
假设数列{S_n}中存在不同的三项S_p，S_q，S_r，使这三项恰好构成等差数列，
∴S_p+S_r=2S_q．即$\frac{{3}^{P+1}-3}{2}$+$\frac{{3}^{r+1}-3}{2}$=3^q+1-3．
∴$\frac{{3}^{p+1}+{3}^{r+1}}{2}={3}^{q+1}$．即3^p+3^r=2•3^q．
∴3^p-q+3^r-q=2，
∵p，q，r互不相同，不妨设p＜q＜r，
则r-q≥1，
∴3^p-q+3^r-q≥3≠2，与3^p-q+3^r-q=2矛盾，
∴数列{S_n}中不存在不同的三项S_p，S_q，S_r，使这三项恰好构成等差数列．

点评 本题考查了等差，等比关系的确定，等差数列，等比数列的通项公式及数列求和，属于中档题．