Question

18．求满足下列条件的圆的方程：
（1）过三点A（5，1），B（7，-3），C（2，8）的圆；
（2）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程．

Answer 1

分析 （1）设过A（5，1），B（7，-3），C（2，8）三点的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，把三个点的坐标代入求出D、E、F的值，可得圆的方程；
（2）先求AB的中垂线方程，它和直线x+y-2=0的交点是圆心坐标，再求半径，可得方程．

解答 解：（1）设过三点A（5，1），B（7，-3），C（2，8）的圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则由$\left\{\begin{array}{l}{25+1+5D+E+F=0}\\{49+9+7D-3E+F=0}\\{4+64+2D+8E+F=0}\end{array}\right.$，
解得D=-196，E=-90，F=1044．
即圆的一般方程为x²+y²-196x-90y+1044=0，
故圆的标准方程为（x-98）²+（y-45）²=10585；
（2）圆心一定在AB的中垂线上，AB的中垂线方程是y=x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y-2=0}\end{array}\right.$，圆心（1，1），
圆心到A的距离就是半径：$\sqrt{（1-1）^{2}+（-1-1）^{2}}=2$，
∴所求圆的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4．

点评 本题主要考查圆的标准方程的求解，利用待定系数法以及两点间距离公式求出圆的一般方程是解决本题的关键，是基础题．