Question

3．已知函数f（x）=x²-lnx．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）设g（x）=x-t，若函数h（x）=g（x）-f（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上（这里e≈2.718）恰有两个不同的零点，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求解f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$，利用不等式得出单调性即可．
（2）转化为t=x-x²+lnx在[$\frac{1}{e}$，e]恰有两个不同的实数根，构造函数令k（x）=x-x²+lnx利用k′（x）=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$求解最值．

解答 解：（1）函数定义域为（0，+∞）
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$=$\frac{2（x+\frac{\sqrt{2}}{2}）（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）}{x}$，
所以函数的单调减区间为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）单调增区间为（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）
（2）函数函数h（x）=g（x）-f（x）=x-t-x²+lnx在[$\frac{1}{e}$，e]恰有两个不同的零点，
等价于t=x-x²+lnx在[$\frac{1}{e}$，e]恰有两个不同的实数根
令k（x）=x-x²+lnx则k′（x）=-$\frac{（2x+1）（x-1）}{x}$
当x∈（$\frac{1}{e}$，1）时，k′（x）＞0，k（x）在（$\frac{1}{e}$，1）递增，
当（1，e）时，k′（x）＜0，k（x）在（1，e）递减）
故k_max（x）=k（1）=0，k（$\frac{1}{e}$）=$-\frac{1}{{e}^{2}}$$+\frac{1}{e}$-1，k（e）=-e²+e+1，
所以t∈[$-\frac{1}{{e}^{2}}$$+\frac{1}{e}$-1，0]

点评 本题综合考查了导数在解决函数的单调性，零点问题中的应用，构造函数运用求解参变量的范围问题．