Question

14．已知x＞0，y＞0，且满足x+$\frac{y}{2}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{8}{y}$=8，则2x+y的最小值为18．

Answer 1

分析 x＞0，y＞0，且满足x+$\frac{y}{2}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{8}{y}$=8，化为：$\frac{2x+y}{2}$=8+$\frac{1}{x}+\frac{16}{2y}$，令2x+y=t＞0，则$\frac{（2x+y）^{2}}{2}$=8（2x+y）+（2x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{16}{2y}）$，利用基本不等式的性质化简整理解出即可得出．

解答 解：∵x＞0，y＞0，且满足x+$\frac{y}{2}$-$\frac{1}{x}$-$\frac{8}{y}$=8，
化为：$\frac{2x+y}{2}$=8+$\frac{1}{x}+\frac{16}{2y}$，
令2x+y=t＞0，则$\frac{（2x+y）^{2}}{2}$=8（2x+y）+（2x+y）$（\frac{1}{x}+\frac{16}{2y}）$=8（2x+y）+2+8+$\frac{y}{x}$+$\frac{16x}{y}$≥8（2x+y）+10+2$\sqrt{\frac{y}{x}×\frac{16x}{y}}$=8（2x+y）+18，
∴t²-16t-36≥0，
解得t≥18，即2x+y≥18，当且仅当y=4x=12时取等号．
故答案为：18．

点评 本题考查了基本不等式的性质、不等式的解法，考查了变形推理能力与计算能力，属于中档题．