Question

13．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，PA⊥面ABCD，点Q在棱PA上，且PA=4PQ=4，AB=2，CD=1，AD=$\sqrt{2}$，∠CDA=∠BAD=$\frac{π}{2}$，M，N分别是PD，PB的中点．
（1）求证：MQ∥面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成的锐二面角的大小．

Answer 1

分析 向量法：对于（1）求证：MQ∥平面PCB，可求出线的方向向量与面的法向量，如果两者的内积为0则说明线面平行
对于（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小，求出两个平面的法向量，然后根据根据二面角的正弦与法向量的数量积的关系，求解；

解答 解：法一：向量法：
以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O-xyz，如图1，
由$AB=2，CD=1，AD=\sqrt{2}$，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点，
可得：$A（{0，0，0}），B（{0，2，0}），C（{\sqrt{2}，1，0}），D（{\sqrt{2}，0，0}），P（{0，0，4}），Q（{0，0，3}），M（{\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，2}），N（{0，1，2}）$，
∴$\overrightarrow{BC}=（{\sqrt{2}，-1，0}），\overrightarrow{PB}=（{0，2，-4}）$，$\overrightarrow{MQ}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，1}）$
设平面的PBC的法向量为$\overrightarrow{n_0}=（{x，y，z}）$，
则有：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_0}⊥\overrightarrow{BC}⇒（{x，y，z}）•（{\sqrt{2}，-1，0}）=0⇒\sqrt{2}x-y=0\\ \overrightarrow{n_0}⊥\overrightarrow{PB}⇒（{x，y，z}）•（{0，2，-4}）=0⇒2y-4z=0\end{array}\right.$
令z=1，则$x=\sqrt{2}，y=2⇒\overrightarrow{n_0}=（{\sqrt{2}，2，1}）$，（3分）
∴$\overrightarrow{MQ}•\overrightarrow{n_0}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，0，1}）•（{\sqrt{2}，2，1}）=0$，
又MQ?平面PCB，∴MQ∥平面PCB；
（2）设平面的MCN的法向量为$\overrightarrow n=（{x，y，z}）$，又$\overrightarrow{CM}=（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1，2}），\overrightarrow{CN}=（{-\sqrt{2}，0，2}）$
则有：$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n⊥\overrightarrow{CM}⇒（{x，y，z}）•（{-\frac{{\sqrt{2}}}{2}，-1，2}）=0⇒-\frac{{\sqrt{2}}}{2}x-y+2z=0\\ \overrightarrow n⊥\overrightarrow{CN}⇒（{x，y，z}）•（{-\sqrt{2}，0，2}）=0⇒-\sqrt{2}x+2z=0\end{array}\right.$
令z=1，则$x=\sqrt{2}，y=1⇒\overrightarrow n=（{\sqrt{2}，1，1}）$，
又$\overrightarrow{AP}=（{0，0，4}）$为平面ABCD的法向量，
∴$cos\left?{\overrightarrow n，\overrightarrow{AP}}\right＞=\frac{{\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}}}{{|{\overrightarrow n}|•|{\overrightarrow{AP}}|}}=\frac{4}{2×4}=\frac{1}{2}$，又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角，
∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为$\frac{π}{3}$，
法二：几何法：
（1）取AP的中点E，连接ED，则ED∥CN，如图2，
依题有Q为EP的中点，
所以MQ∥ED，所以MQ∥CN，
又MQ?平面PCB，CN?平面PCB，
∴MQ∥平面PCB
（2）易证：平面MEN∥底面ABCD，
所以截面MCN与平面MEN所成的二面角即为平面MCN与底面ABCD所成的二面角，
因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥平面MEN，
过E做EF⊥MN，垂足为F，连接QF，
则由三垂线定理可知QF⊥MN，
由（1）可知M，C，N，Q四点共面所以∠QFE为截面MCN与平面MEN所成的二面角的平面角，
$在Rt△MEN中，ME=\frac{{\sqrt{2}}}{2}，NE=1，MN=\frac{{\sqrt{6}}}{2}，故EF=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
所以：$tan∠QFE=\sqrt{3}$，
所以：$∠QFE=\frac{π}{3}$；

点评 本题考查了线面平行的证明与二面角的求法，是立体几何中一道综合性很强的题，解答本题有一定难度，使用传统的几何法和向量法都可以，体会向量法的思维易而运算难与几何法的思维难而运算易的特征．